Chapitres
Définition
Une fonction affine est une fonction définie sur R par f (x) = mx + p où m et p sont deux réels donnés.
Exemple :
f : R → R
x → 2x + 3
f (x) = 2x + 3
Remarques :
- Si p = 0, f (x) = mx
f est une fonction linéaire. - Si m = 0, f (x) = p
f est une fonction constante.
Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction affine définie sur R par f (x) = mx + p est la droite (d) d'équation y = mx + p.
m est le coefficient directeur de (d).
p est l'ordonnée à l'origine (c'est l'ordonnée du point d'abscisse 0 de (d)).
(d) a pour équation y = mx + p
Exemple :
f (x) = 2x + 3
f est une fonction affine. Sa représentation graphique est la droite d'équation y = 2x + 3.
| x | 1 | 0 |
| y | 5 | 3 |
Sens de variation d'une fonction affine
Propriété :
f : x → mx + p définie sur R (m ≠ 0)
- Si m > 0, f est croissante sur R.
- Si m < 0, f est décroissante sur R.
Démonstration :
Soient a et b deux réels tels que a < b.
On cherche le signe de f (b) – f (a)
f (b) – f (a) = mb + p – (ma + p)
= mb + p – ma – p
= m (b – a)
On sait que b > a donc b – a > 0
- Si m > 0, m (b – a) > 0
càd f (b) – f (a) > 0
f (b) > f (a)
Donc si a < b alors f (b) > f (a)
et m > 0
On a démontré que si m > 0, f est croissante sur R.
- Si m < 0, m (b – a) < 0
càd f (b) – f (a) < 0
f (b) < f (a)
Donc si a < b alors f (b) < f (a)
et m < 0
On a démontré que si m < 0, f est décroissante sur R.
Prêt pour des cours de math 3eme ?
Fonctions affines et proportionnalité
Théorème :
f est un fonction affine non constante si et seulement si l'accroissement de l'image est proportionnel à l'accroissement de la variable.
Démonstration :
- Soit f une fonction affine non constante.
f (x) = mx + b, m ≠ 0
Soient a et b deux réels quelconques.
f (b) – f (a) = (mb + p) – (ma + p)
= mb + p – mb – p
= m (b – a)
Donc si a et b sont distincts,Conclusion : f (b) –f (a) et b – a sont proportionnels. - Soit f une fonction définie sur R telle que f (b) – f (a) et b – a soient proportionnels.Soit m le coefficient de proportionnalité.
Donc pour tous les réels a et b distincts.f (b) – f (a) = m (b – a)
En particulier :
Pour b = x
a = 0
f (x) – f (0) = m (x – 0)
f (x) – f (0) = mx
f (x) = mx + f (0) p = f (0)Donc f est un fonction affine non constante.
Exemple :
Déterminer la fonction affine f telle que :
f (2) = –3
f (–1) = 5
f est une fonction affine donc pour tout réel x, f (x) = mx
On détermine p en écrivant que f (2) = –3
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