Chapitres
Exercice 1
On veut qu'une onde PPH complexe se propage dans un milieu localement neutre, de conductivité complexe.
1. Écrire les équations de Maxwell complexes.
2. En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique complexe.
3. En déduire l'équation de dispersion. Comparer avec le cas du vide.
Exercice 2 : L'Effet Doppler et ses applications
Christian Doppler, savant autrichien, propose en 1842 une explication de la modification de la fréquence du son perçu par un observateur immobile lorsque la source sonore est en mouvement. Buys-Ballot, scientifique hollandais, vérifie expérimentalement la théorie de Doppler en 1845, en enregistrant le décalage en fréquence d’un son provenant d’un train en mouvement et perçu par un observateur immobile.
On se propose de présenter l’effet Doppler puis de l’illustrer au travers de deux applications.
Mouvement relatif d’une source sonore et d’un détecteur
Nous nous intéressons dans un premier temps au changement de fréquence associé au mouvement relatif d’une source sonore S et d’un détecteur placé au point M (figure 1). Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre dans lequel le détecteur est immobile. Une source S émet des « bips » sonores à intervalles de temps réguliers dont la période d’émission est notée T0. Le signal sonore se propage à la célérité vson par rapport au référentiel terrestre.
1.1. Cas A : la source S est immobile en x = 0 et le détecteur M, situé à la distance d, perçoit chaque bip sonore avec un retard lié à la durée de propagation du signal.
1.1.1. Définir par une phrase, en utilisant l’expression « bips sonores», la fréquence f0 de ce signal périodique.
1.1.2. Comparer la période temporelle T des bips sonores perçus par le détecteur à la période d’émission T0.
1.2. Cas B : la source S, initialement en x = 0, se déplace à une vitesse constante vs suivant l’axe Ox en direction du détecteur immobile. La vitesse vs est inférieure à la célérité vson. On suppose que la source reste à gauche du détecteur.
Le détecteur perçoit alors les différents bips séparés d’une durée :
[ T ' = T _ {0} ( 1 - \frac {v _ {s} } {v _ {son} } ) ]
Indiquer si la fréquence f ’ des bips perçus par le détecteur est inférieure ou supérieure à la fréquence f0 avec laquelle les bips sont émis par la source S. Justifier.
L'aide d'un professeur physique chimie peut aider un élève à progresser.
La vélocimétrie Doppler en médecine
La médecine fait appel à l’effet Doppler pour mesurer la vitesse d’écoulement du sang dans les vaisseaux sanguins (figure 2).
Un émetteur produit des ondes ultrasonores qui traversent la paroi d’un vaisseau sanguin. Pour simplifier, on suppose que lorsque le faisceau ultrasonore traverse des tissus biologiques, il rencontre :
- des cibles fixes sur lesquelles il se réfléchit sans modification de la fréquence ;
- des cibles mobiles, comme les globules rouges du sang, sur lesquelles il se réfléchit avec une modification de la fréquence ultrasonore par effet Doppler (figure 3).
L'onde ultrasonore émise, de fréquence fE = 10 MHz, se réfléchit sur les globules rouges qui sont animés d'une vitesse v. L'onde réfléchie est ensuite détectée par le récepteur.
La vitesse v des globules rouges dans le vaisseau sanguin est donnée par la relation suivante :
[ V = \frac {V _ {ultrason} } {2 cos theta } \cdot \frac { Delta text {f} } { text {f} _ {e} } ]
2.1. Δf est le décalage en fréquence entre l’onde émise et l’onde réfléchie, vultrason la célérité des ultrasons dans le sang et q l’angle défini sur la figure 3.
2.2. Pour les mêmes vaisseaux sanguins et dans les mêmes conditions de mesure, on augmente la fréquence des ultrasons émis fE. Indiquer comment évolue le décalage en fréquence Δf. Justifier.
Détermination de la vitesse d’un hélicoptère par effet Doppler
On s’intéresse à un son émis par un hélicoptère et perçu par un observateur immobile. La valeur de la fréquence de l’onde sonore émise par l’hélicoptère est f0 = 8,1 × 102 Hz. On se place dans le référentiel terrestre pour toute la suite de cette partie.
Les portions de cercles des figures 4 et 5 ci-dessous donnent les maxima d’amplitude de l’onde sonore à un instant donné. Le point A schématise l’hélicoptère. Dans le cas de la figure 4, l’hélicoptère est immobile. Dans le cas de la figure 5, il se déplace à vitesse constante le long de l’axe et vers l’observateur placé au point O. La célérité du son dans l’air est indépendante de sa fréquence.
3.1. Déterminer, avec un maximum de précision, la longueur d’onde l0 de l’onde sonore perçue par l’observateur lorsque l’hélicoptère est immobile, puis la longueur d’onde l’ lorsque l’hélicoptère est en mouvement rectiligne uniforme.
3.2. En déduire une estimation de la valeur de la célérité de l’onde sonore. Commenter la valeur obtenue.
3.3. Déterminer la fréquence du son perçu par l’observateur lorsque l’hélicoptère est en mouvement. Cette valeur est-elle en accord avec le résultat de la question 1.2. ? Comment la perception du son est-elle modifiée ?
3.4. En déduire la valeur de la vitesse de l’hélicoptère. Cette valeur vous paraît-elle réaliste.
Exercice 3 : L'effet Doppler et l'astrophysique
L’effet Doppler constitue un moyen d’investigation utilisé en astrophysique Il permet de déterminer la vitesse des astres à partir de l’analyse spectrale de la lumière que ceux-ci émettent.
Cet exercice s’intéresse à deux applications distinctes, à savoir le modèle d’Univers en expansion et la détection d’une étoile double « spectroscopique ».
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Les documents utiles à la résolution sont rassemblés en fin d’exercice.
Donnée : 1 Å = 0,1 nm
Preuve de l’expansion de l’Univers
1.1. En utilisant le document 3, déterminer la longueur d’onde médiane du doublet de Ca2+ dans le spectre de la galaxie nommée : NGC 691.
Sachant que la longueur d’onde médiane l0 de ce doublet mesurée sur Terre pour une source au repos est de 5268 Å, calculer le « redshift » z caractérisant le décalage vers le rouge de cette galaxie, défini dans le document 1.
1.2. Calculer la vitesse d’éloignement de la galaxie NGC 691 par rapport à la Terre.
1.3. À l’aide des documents 1 et 2, établir dans le cas non relativiste, la relation entre la vitesse d’éloignement V de la galaxie et sa distance d à la Terre, montrant que V est proportionnelle à d.
1.4. À partir des valeurs du nombre z données dans le document 2, montrer que l’expression utilisée pour calculer la vitesse d’éloignement des galaxies donnée dans le document 1 n’est pas applicable dans tous les cas.
Détection d’une étoile double « spectroscopique ».
On appelle « étoile double » un système stellaire composé de deux étoiles proches en orbite autour du même point (ce point étant le centre d’inertie G du système). Une étoile double « spectroscopique » est constituée de deux astres trop proches pour être séparés par un télescope optique et ne peut être détectée que par l’étude de son spectre à haute résolution. Le mouvement des deux étoiles provoque en effet un léger déplacement des raies d’absorption du spectre par effet Doppler.
Dans les questions suivantes, on suppose que les deux étoiles A et B décrivent des orbites circulaires de même rayon R, avec la même vitesse V = VA = VB.
La période de rotation commune aux deux étoiles A et B est notée T : c’est la période de l’étoile double.
2.1. Expliquer pourquoi, dans la situation décrite sur le document 4, on lA > lB.
2.2. Sachant que l’effet Doppler ne se manifeste pas lorsque le vecteur vitesse de la source est perpendiculaire à la direction de visée, compléter en justifiant le tableau de l’ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE. Schématiser sans souci d’échelle le spectre correspondant à chaque configuration et montrer que l’évolution temporelle de ces spectres est périodique de période T/2.
2.3. En utilisant les spectres du document 5 qui montrent l’évolution temporelle de la position de la raie Ha dans le spectre de l’étoile double HD 80715, vérifier que la période T de celle-ci est voisine de 3,8 jours.
Documents et annexes
Document 1 : principe de l’effet Doppler
On note l0 la longueur d’onde de référence de la raie étudiée dans le spectre (source immobile par rapport à l’observateur) et l la longueur d’onde de la radiation émise par la source en mouvement.
Lorsqu’une étoile s’éloigne de la Terre, on observe un décalage vers les grandes longueurs d’onde appelé « redshift » et caractérisé par le nombre suivant :
[ z = \frac { lambda - lambda _ {0} } { lambda _ {0} } ]
La formule de Doppler donne la vitesse d’éloignement V de la source lumineuse par rapport à l’observateur terrestre dans le cas non relativiste :
[ V = c \frac { lambda - lambda _ {0} } { lambda _ {0} } ]
c est la célérité de la lumière dans le vide (c = 2,99792 x 108 m.s-1)
Document 2 : Décalage vers le rouge
En 1930, Edwin HUBBLE avait constaté expérimentalement que plus les galaxies étaient lointaines, plus leur spectre présentait un décalage vers le rouge important.
Le « décalage vers le rouge », qui sera appelé « redshift » apparaît, quand il est petit, comme proportionnel à la distance suivante :
[ z = \frac { H _ {0} text {d} } { c } ]
où H0 est une constante appelée constante de Hubble.
Ce décalage est traditionnellement interprété comme étant dû à la vitesse d’éloignement des galaxies. Cette interprétation, si elle est vraie pour les « redshifts » petits est en fait fondamentalement erronée dans une perspective de relativité générale. Les « redshifts » observés vont d’une fraction de l’unité pour la plupart des galaxies, à 4 ou 5 pour les objets plus lointains, quasars, ou certaines autres galaxies.
On note : λA la longueur d’onde de la raie provenant du spectre de l’étoile A et λB la longueur d’onde de la raie provenant du spectre de l’étoile B.
Annexes à rendre avec la copie
Question 2.2. Pour chaque proposition, indiquer la (les) configurations correcte(s).
Relation entre λA et λB | λA = λB | λA > λB | λA < λB |
---|---|---|---|
Configuration(s) |
Sur ces schémas, l’observateur n’est pas représenté car il est à une très grande distance.
Exercice 4 : Observer l'espace avec le télescope Hubble
Le site du télescope Hubble a publié, en juin 2014, une nouvelle image issue du projet « Hubble Ultra Deep Field ».
Le but de cet exercice est d’étudier un article de presse paru dans un quotidien.
Article de presse : Hubble dévoile la photo la plus colorée de l’Univers
L’image […] est un assemblage de 841 photos prises entre 2003 et 2012, ciblant un point précis de notre Univers, au sud de la constellation du Fourneau. Elle affiche plus de 10 000 galaxies [...].
Des premières versions de cette image avaient déjà été publiées, d’abord en 2004, puis en 2009.
Elles présentaient alors ces 10 000 galaxies grâce à l’enregistrement de leur lumière visible et de leurs rayons infrarouges. Depuis, Hubble a pu prendre d’autres photos incluant la captation des rayonnements ultraviolets, grâce à la caméra Wide Field Camera 3 installée en 2009 […].
Alors que l’enregistrement de la lumière infrarouge avait pu permettre d’observer des objets célestes qui se sont créés très tôt dans l’histoire de l’Univers, environ 600 millions d’années après le Big Bang, celui des signaux ultraviolets permet d’ajouter aux données de cette image la lumière de corps célestes présents dans ces galaxies qui existaient sur une période allant de 5 à 10 milliard d’années (soit le temps mis par les rayonnements ultraviolets émanant de ces étoiles pour parvenir jusqu’à l’objectif de Hubble).
Les rayonnements ultraviolets émanent principalement des étoiles les plus larges, chaudes et jeunes qui se forment dans les galaxies après la création de ces dernières.
D’après un article du journal Le Monde
Données :
- la valeur de la célérité de la lumière dans le vide est supposées connue ;
- constante de Planck : h = 6,63×10–34 J.s ;
- loi de Wien : la température absolue T d’une source de rayonnement électromagnétique est inversement proportionnelle à la longueur d’onde λmax pour laquelle son rayonnement émis est le plus intense :
λmax . T = 2,90 × 10–3 (SI)
(λmax et T exprimés en unités SI).
- Rayonnements électromagnétiques et atmosphère terrestre ;
- Le décalage spectral.
En raison de l’expansion de l’Univers, les galaxies semblent s’éloigner de la Terre. Cette vitesse apparente des galaxies est d’autant plus grande que celles-ci se trouvent éloignées de la Terre.
Une des conséquences est que le rayonnement électromagnétique provenant d’un objet astronomique n’a pas le même spectre lorsque celui-ci est observé dans le référentiel de la Terre ou dans celui de la source : le spectre observé depuis la Terre est décalé vers des plus grandes longueurs d’onde.
On peut caractériser ce décalage par une grandeur notée z (le redshift) proportionnelle à la vitesse d’éloignement et définie par la relation :
[ z = \frac { lambda - lambda _ {0} } { lambda _ {0} } ]
Quelles sont les informations supplémentaires apportées par l’interprétation des images obtenues en 2014 ?
Les derniers filtres ajoutés au télescope Hubble permettent de capter des photons dont l’énergie est comprise entre 5,92 × 10–19 J et 1,32 × 10–18 J. Vérifier que ces filtres permettent de capter des photons correspondant au rayonnement ultraviolet dont le domaine de longueur d’onde est compris entre 10 nm et 400 nm.
L’image réalisée en 2014 aurait-elle pu être obtenue par un télescope situé sur Terre ?
Comment est modifiée la lumière perçue sur Terre par rapport à la lumière émise par l’étoile, en fonction de leur mouvement relatif ?
Quel phénomène est associé à cette modification ? Donner un exemple de ce type de phénomène observable sur Terre.
La plus vieille galaxie repérée à ce jour grâce au télescope Hubble se situe à environ 10 milliards d’années-lumière de la Terre. Son décalage spectral (redshift) est de 7,6.
On considère une jeune étoile située dans cette galaxie et dont la température de surface est de 42 400 K.
L’intensité maximale du spectre électromagnétique de cette étoile sera-t-elle observée par le télescope Hubble dans le domaine de l’ultraviolet, de l’infrarouge ou du visible ?
Une démarche permettant la détermination de la longueur d’onde du rayonnement capté par le récepteur est attendue.
En déduire s’il est possible d’observer des étoiles jeunes dans des galaxies plus anciennes que 10 milliards d’années en utilisant le rayonnement ultraviolet.
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